食物アレルギーから喘息になりやすい？

これは有ると思います。

喘息の大部分の人はアレルギー性の人が多いので、食物アレルギーがある人は喘息に移行してしまう可能性があります。
食物アレルギーがあるからと言って喘息になるのではなく、アレルギー体質は様々なアレルギー疾患に移行しやすいという特徴を持ってます。

喘息はアレルギーマーチになりやすい

一番最初はアトピー皮膚炎、次いで鼻炎、次に喘息と移行してしまうこともあります。
私も赤ちゃん〜子供の頃にはアトピー性皮膚炎の方が酷かったです。
しかし、アトピー性皮膚炎が改善してきた頃から、喘息が始まりました。

今ではアトピーは酷くないけど、喘息はあるという感じでしょうか？
また、鼻炎も持っていますね。

元々は乳製品に食物アレルギーが有ったようで、赤ちゃんの頃牛乳を止めてだいぶアトピー性皮膚炎が改善されたと聞いたことがあります。
食物アレルギーの人は、喘息に移行しやすいということはあるのです。

これらの原因は全てアレルギーが原因ですが、どのような症状が出たか？によって病名が違うだけで、元々の原因がアレルギーである事は同じなのです。

アレルギーの症状が違うものに移行してしまうことを「アレルギーマーチ」と呼んでいます。
私もこの状況を繰り返していて、最終的には喘息で落ち着いたという感じです。
もちろん、他のアレルギー症状も起こることがあり、免疫力が低下した時などは他の症状も起こります。

食物アレルギーは治らないのか？

食物アレルギーは大きくなるにつれて治るとも言われています。
完全に治ったということでは無いと思いますが、アレルゲンとなる食品を長期間避けていると、アレルギー症状が治まる事があります。

アレルギーの原因となる食品が分かったら、できるだけ長期間避けてみてください。
長期間避けてみて、ある日食べてみると症状が出なかったということもあります。
一生食べられないと言う事ではなく、期間を置く事によって食べられることがあります。
同じように、アレルゲンとなる物質を避けると、アレルギー症状も治まります。